Der in Jamestown, New York geborene Beswick zog mit fünf Jahren nach Los Angeles.  Hier sah er zum ersten Mal den Film 20 MILLIONEN MEILEN VON DER ERDE ENTFERNT (1957) von Ray Harryhausen.  Da hatte es  ihn gepackt: das Animationsfieber.

Er drehte daraufhin mit einer Kodak Normal 8 Kamera selbst eine Art Stop-Motion-Film, indem er den Auslöser in kurzen Intervallen betätigte. Mit dem Ergebnis war er allerdings unzufrieden. So kaufte er eine Beaulieux 8 mm Kamera und drehte zusammen mit seinem Freund Johnny Legend (PHANTOM ISLAND, 1964) kurze Horrorfilme. In den späten 1960er Jahren ging er zu einer Art Abendschule und studierte Maschinenbau.

1966 wurde Beswick Chef-Animator der TV-Serie GAMBY. 1969 war er bei der Produktion der SESAMSTRAßE beteiligt. 1971 dann sein kleiner Durchbruch. Für Rick Baker erschuf er das Monsterkostüm für OCTAMAN. Zusammen mit Harry Walton (der dann bei ILM anfing) hatte er zusammen eine kleine Werkstatt. Rick Baker war es, der ihn 1977 für KRIEG DER STERNE anheuerte um die Cantina-Band zu entwerfen. Die Erfahrungen in der Abendschule halfen ihm 1979 für den Film THE INCREDIBLE SHRINKING WOMAN den Gorilla Sidney zu bauen.

Der KRIEG DER STERNE ließ ihn nicht los. Zusammen mit Phil Tippett baute und animierte er die Schneeläufer für DAS IMPERIUM SCHLÄGT ZURÜCK (1981). Mit Rob Bottin arbeitete er an den Verwandlungen in DAS TIER (1980). Er war an zahlreichen Klassikern des Genres beteiligt wie AN AMERICAN WEREWOLF ON LONDON (1981, hier konstruierte er verschiedene mechanische Effekte), VIDEODROME (1982), GREYSTOKE  (1984), GHOSTBUSTERS (1984). Für TERMINATOR (1984) baute und animierte er das Endoskelett für die letzte Szene.

Weitere Filme mit seinem Zutun sind: COCOON (1985), ALIENS (1986), ELVIRA – MISTRESS OF THE DARK (1988), BEETLEJUICE (1988), TOTAL RECALL (1990) oder GREMLINS  2 (1990).